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/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / macros / plain / contrib / lambda.tex < prev    next >
LaTeX Document  |  1990-07-10  |  38.0 KB
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|00002b50| 77 6f 75 6c 64 20 6c 69 | 6b 65 20 74 6f 20 62 65 |would li|ke to be|
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|00002c90| 20 74 68 69 73 20 64 65 | 66 69 6e 69 74 69 6f 6e | this de|finition|
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|00002cc0| 73 20 61 73 73 6f 63 69 | 61 74 69 76 65 3a 0a 5c |s associ|ative:.\|
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|00002e70| 20 6e 6f 72 6d 61 6c 2e | 20 20 54 68 65 20 69 6e | normal.|  The in|
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|00002ed0| 20 66 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 | f.\end{|eqnarray|
|00002ee0| 2a 7d 0a 73 6f 20 24 49 | 64 65 6e 74 69 74 79 24 |*}.so $I|dentity$|
|00002ef0| 20 69 73 20 69 6e 64 65 | 65 64 20 6f 6e 20 74 68 | is inde|ed on th|
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|00002f20| 70 6f 73 65 24 20 63 61 | 6e 20 62 65 20 69 6d 70 |pose$ ca|n be imp|
|00002f30| 6c 65 6d 65 6e 74 65 64 | 20 69 6e 20 5c 54 65 58 |lemented| in \TeX|
|00002f40| 5c 20 61 73 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 54 65 58 63 |\ as.\be|gin{TeXc|
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|00002f70| 7d 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 54 65 58 63 6f 64 65 |}}}.\end|{TeXcode|
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|00002f90| 77 69 64 64 6c 65 7d 0a | 0a 59 65 74 20 61 6e 6f |widdle}.|.Yet ano|
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|00002fb0| 6c 65 20 66 75 6e 63 74 | 69 6f 6e 20 69 73 20 24 |le funct|ion is $|
|00002fc0| 54 77 69 64 64 6c 65 24 | 2c 20 77 68 69 63 68 20 |Twiddle$|, which |
|00002fd0| 74 61 6b 65 73 20 69 6e | 20 0a 61 20 66 75 6e 63 |takes in| .a func|
|00002fe0| 74 69 6f 6e 20 61 6e 64 | 20 72 65 76 65 72 73 65 |tion and| reverse|
|00002ff0| 73 20 74 68 65 20 6f 72 | 64 65 72 20 74 68 61 74 |s the or|der that|
|00003000| 20 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 20 74 61 6b 65 73 20 | functio|n takes |
|00003010| 69 74 73 20 28 66 69 72 | 73 74 20 74 77 6f 29 0a |its (fir|st two).|
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|00003080| 74 20 6d 61 6e 79 20 69 | 6d 6d 65 64 69 61 74 65 |t many i|mmediate|
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|000030a0| 20 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 2c 20 62 75 74 20 69 | functio|n, but i|
|000030b0| 74 27 6c 6c 0a 63 6f 6d | 65 20 69 6e 20 68 61 6e |t'll.com|e in han|
|000030c0| 64 79 20 6c 61 74 65 72 | 20 6f 6e 2e 20 20 49 74 |dy later| on.  It|
|000030d0| 20 73 61 74 69 73 66 69 | 65 73 20 74 68 65 20 70 | satisfi|es the p|
|000030e0| 72 6f 70 65 72 74 69 65 | 73 0a 5c 62 65 67 69 6e |ropertie|s.\begin|
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|00003140| 65 7e 53 65 63 6f 6e 64 | 20 20 26 20 20 3d 20 20 |e~Second|  &  =  |
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|000031b0| 20 69 73 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 54 65 58 63 6f | is.\beg|in{TeXco|
|000031c0| 64 65 7d 0a 5c 64 65 66 | 5c 54 77 69 64 64 6c 65 |de}.\def|\Twiddle|
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|00003ad0| 5c 72 69 67 68 74 2e 0a | 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e |\right..|\end{eqn|
|00003ae0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0a | 57 69 74 68 20 6f 75 72 |array*}.|With our|
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|00003b20| 68 65 20 73 61 6d 65 20 | 61 73 0a 5c 62 65 67 69 |he same |as.\begi|
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|00003b90| 72 6f 6d 20 74 68 65 73 | 65 20 63 6f 6e 64 69 74 |rom thes|e condit|
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|00003bc0| 61 73 73 6f 63 69 61 74 | 69 76 65 2c 20 61 6e 64 |associat|ive, and|
|00003bd0| 20 0a 68 61 73 20 6c 65 | 66 74 20 75 6e 69 74 20 | .has le|ft unit |
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|00003bf0| 7a 65 72 6f 73 20 24 46 | 61 6c 73 65 24 20 61 6e |zeros $F|alse$ an|
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|00003c40| 28 41 6e 64 7e 62 7e 63 | 29 20 20 5c 5c 0a 20 20 |(And~b~c|)  \\.  |
|00003c50| 20 20 20 20 20 20 41 6e | 64 7e 54 72 75 65 7e 62 |      An|d~True~b|
|00003c60| 20 20 26 20 20 3d 20 20 | 26 20 20 62 20 20 5c 5c |  &  =  |&  b  \\|
|00003c70| 0a 20 20 20 20 20 20 20 | 41 6e 64 7e 46 61 6c 73 |.       |And~Fals|
|00003c80| 65 7e 62 20 20 26 20 20 | 3d 20 20 26 20 20 46 61 |e~b  &  |=  &  Fa|
|00003c90| 6c 73 65 20 20 5c 5c 0a | 20 20 20 20 20 20 20 41 |lse  \\.|       A|
|00003ca0| 6e 64 7e 45 72 72 6f 72 | 7e 62 20 20 26 20 20 3d |nd~Error|~b  &  =|
|00003cb0| 20 20 26 20 20 45 72 72 | 6f 72 0a 5c 65 6e 64 7b |  &  Err|or.\end{|
|00003cc0| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0a 24 4f 72 24 20 |eqnarray|*}.$Or$ |
|00003cd0| 69 73 20 61 73 73 6f 63 | 69 61 74 69 76 65 2c 20 |is assoc|iative, |
|00003ce0| 68 61 73 20 6c 65 66 74 | 20 75 6e 69 74 20 24 46 |has left| unit $F|
|00003cf0| 61 6c 73 65 24 20 61 6e | 64 20 6c 65 66 74 20 7a |alse$ an|d left z|
|00003d00| 65 72 6f 73 20 24 54 72 | 75 65 24 20 61 6e 64 20 |eros $Tr|ue$ and |
|00003d10| 24 45 72 72 6f 72 24 3a | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |$Error$:|.\begin{|
|00003d20| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0a 20 20 20 4f 72 |eqnarray|*}.   Or|
|00003d30| 7e 28 4f 72 7e 61 7e 62 | 29 7e 63 20 20 26 20 20 |~(Or~a~b|)~c  &  |
|00003d40| 3d 20 20 26 20 20 4f 72 | 7e 61 7e 28 4f 72 7e 62 |=  &  Or|~a~(Or~b|
|00003d50| 7e 63 29 20 20 5c 5c 0a | 20 20 20 20 20 20 4f 72 |~c)  \\.|      Or|
|00003d60| 7e 46 61 6c 73 65 7e 62 | 20 20 26 20 20 3d 20 20 |~False~b|  &  =  |
|00003d70| 26 20 20 62 20 20 5c 5c | 0a 20 20 20 20 20 20 20 |&  b  \\|.       |
|00003d80| 4f 72 7e 54 72 75 65 7e | 62 20 20 26 20 20 3d 20 |Or~True~|b  &  = |
|00003d90| 20 26 20 20 54 72 75 65 | 20 20 5c 5c 0a 20 20 20 | &  True|  \\.   |
|00003da0| 20 20 20 4f 72 7e 45 72 | 72 6f 72 7e 62 20 20 26 |   Or~Er|ror~b  &|
|00003db0| 20 20 3d 20 20 26 20 20 | 45 72 72 6f 72 0a 5c 65 |  =  &  |Error.\e|
|00003dc0| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 2a 7d 0a 44 65 |nd{eqnar|ray*}.De|
|00003dd0| 7e 4d 6f 72 67 61 6e 27 | 73 20 6c 61 77 73 20 68 |~Morgan'|s laws h|
|00003de0| 6f 6c 64 3a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 |old:.\be|gin{eqna|
|00003df0| 72 72 61 79 2a 7d 0a 20 | 20 20 4e 6f 74 7e 28 41 |rray*}. |  Not~(A|
|00003e00| 6e 64 7e 61 7e 62 29 20 | 20 26 20 20 3d 20 20 26 |nd~a~b) | &  =  &|
|00003e10| 20 20 4f 72 7e 28 4e 6f | 74 7e 61 29 7e 28 4e 6f |  Or~(No|t~a)~(No|
|00003e20| 74 7e 62 29 20 20 5c 5c | 0a 20 20 20 20 4e 6f 74 |t~b)  \\|.    Not|
|00003e30| 7e 28 4f 72 7e 61 7e 62 | 29 20 20 26 20 20 3d 20 |~(Or~a~b|)  &  = |
|00003e40| 20 26 20 20 41 6e 64 7e | 28 4e 6f 74 7e 61 29 7e | &  And~|(Not~a)~|
|00003e50| 28 4e 6f 74 7e 62 29 20 | 20 0a 5c 65 6e 64 7b 65 |(Not~b) | .\end{e|
|00003e60| 71 6e 61 72 72 61 79 2a | 7d 0a 61 6e 64 20 24 41 |qnarray*|}.and $A|
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|00003ec0| 7e 62 7e 63 29 20 20 26 | 20 20 3d 20 20 26 20 20 |~b~c)  &|  =  &  |
|00003ed0| 41 6e 64 7e 28 4f 72 7e | 61 7e 62 29 7e 28 4f 72 |And~(Or~|a~b)~(Or|
|00003ee0| 7e 61 7e 63 29 20 20 5c | 5c 0a 20 20 20 41 6e 64 |~a~c)  \|\.   And|
|00003ef0| 7e 61 7e 28 4f 72 7e 62 | 7e 63 29 20 20 26 20 20 |~a~(Or~b|~c)  &  |
|00003f00| 3d 20 20 26 20 20 4f 72 | 7e 28 41 6e 64 7e 61 7e |=  &  Or|~(And~a~|
|00003f10| 62 29 7e 28 41 6e 64 7e | 61 7e 63 29 0a 5c 65 6e |b)~(And~|a~c).\en|
|00003f20| 64 7b 65 71 6e 61 72 72 | 61 79 2a 7d 0a 24 41 6e |d{eqnarr|ay*}.$An|
|00003f30| 64 24 20 61 6e 64 20 24 | 4f 72 24 20 61 72 65 20 |d$ and $|Or$ are |
|00003f40| 7b 5c 65 6d 20 6e 6f 74 | 5c 2f 7d 20 63 6f 6d 6d |{\em not|\/} comm|
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|00003f60| 20 20 46 6f 72 20 65 78 | 61 6d 70 6c 65 2c 0a 5c |  For ex|ample,.\|
|00003f70| 62 65 67 69 6e 7b 65 71 | 6e 61 72 72 61 79 2a 7d |begin{eq|narray*}|
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|00003f90| 75 65 7e 45 72 72 6f 72 | 7d 20 20 0a 20 20 20 26 |ue~Error|}  .   &|
|00003fa0| 20 20 3d 20 20 26 20 20 | 54 72 75 65 7e 54 72 75 |  =  &  |True~Tru|
|00003fb0| 65 7e 45 72 72 6f 72 20 | 20 5c 5c 0a 20 20 20 26 |e~Error | \\.   &|
|00003fc0| 20 20 3d 20 20 26 20 20 | 54 72 75 65 0a 5c 65 6e |  =  &  |True.\en|
|00003fd0| 64 7b 65 71 6e 61 72 72 | 61 79 2a 7d 0a 62 75 74 |d{eqnarr|ay*}.but|
|00003fe0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 |.\begin{|eqnarray|
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|000053d0| 5c 73 75 62 73 65 63 74 | 69 6f 6e 7b 4e 69 6c 2c |\subsect|ion{Nil,|
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|00005c70| 20 62 65 67 69 6e 6e 69 | 6e 67 20 6f 66 20 61 6e | beginni|ng of an|
|00005c80| 79 20 6e 6f 6e 2d 65 6d | 70 74 79 20 6c 69 73 74 |y non-em|pty list|
|00005c90| 2c 0a 62 75 74 20 69 6e | 20 67 65 6e 65 72 61 6c |,.but in| general|
|00005ca0| 20 77 65 20 6e 65 65 64 | 20 6d 6f 72 65 20 69 6e | we need| more in|
|00005cb0| 66 6f 72 6d 61 74 69 6f | 6e 20 74 68 61 6e 20 74 |formatio|n than t|
|00005cc0| 68 61 74 2e 20 20 52 61 | 74 68 65 72 20 74 68 61 |hat.  Ra|ther tha|
|00005cd0| 6e 20 77 72 69 74 65 0a | 61 20 77 68 6f 6c 65 20 |n write.|a whole |
|00005ce0| 62 75 6e 63 68 20 6f 66 | 20 72 65 63 75 72 73 69 |bunch of| recursi|
|00005cf0| 76 65 20 66 75 6e 63 74 | 69 6f 6e 73 20 6f 6e 20 |ve funct|ions on |
|00005d00| 6c 69 73 74 73 2c 20 49 | 27 6c 6c 20 69 6d 70 6c |lists, I|'ll impl|
|00005d10| 65 6d 65 6e 74 20 74 77 | 6f 0a 66 61 69 72 6c 79 |ement tw|o.fairly|
|00005d20| 20 67 65 6e 65 72 61 6c | 20 66 75 6e 63 74 69 6f | general| functio|
|00005d30| 6e 73 2c 20 77 69 74 68 | 20 77 68 69 63 68 20 77 |ns, with| which w|
|00005d40| 65 20 63 61 6e 20 69 6d | 70 6c 65 6d 65 6e 74 20 |e can im|plement |
|00005d50| 28 61 6c 6d 6f 73 74 29 | 20 65 76 65 72 79 74 68 |(almost)| everyth|
|00005d60| 69 6e 67 0a 65 6c 73 65 | 2e 0a 0a 24 46 6f 6c 64 |ing.else|...$Fold|
|00005d70| 6c 24 20 61 6e 64 20 24 | 46 6f 6c 64 72 24 20 62 |l$ and $|Foldr$ b|
|00005d80| 6f 74 68 20 74 61 6b 65 | 20 69 6e 20 66 75 6e 63 |oth take| in func|
|00005d90| 74 69 6f 6e 73 20 61 6e | 64 20 61 70 70 6c 79 20 |tions an|d apply |
|00005da0| 74 68 65 6d 20 72 65 63 | 75 72 73 69 76 65 6c 79 |them rec|ursively|
|00005db0| 0a 74 6f 20 61 20 6c 69 | 73 74 2e 20 20 24 46 6f |.to a li|st.  $Fo|
|00005dc0| 6c 64 6c 24 20 73 74 61 | 72 74 73 20 61 74 20 74 |ldl$ sta|rts at t|
|00005dd0| 68 65 20 6c 65 66 74 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 6c |he left |of the l|
|00005de0| 69 73 74 2c 20 61 6e 64 | 20 24 46 6f 6c 64 72 24 |ist, and| $Foldr$|
|00005df0| 0a 73 74 61 72 74 73 20 | 61 74 20 74 68 65 20 72 |.starts |at the r|
|00005e00| 69 67 68 74 2e 20 20 46 | 6f 72 20 65 78 61 6d 70 |ight.  F|or examp|
|00005e10| 6c 65 2c 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 71 6e 61 72 |le,.\beg|in{eqnar|
|00005e20| 72 61 79 2a 7d 0a 20 20 | 20 46 6f 6c 64 6c 7e 66 |ray*}.  | Foldl~f|
|00005e30| 7e 65 7e 5b 31 2c 32 2c | 33 5d 20 20 26 20 20 3d |~e~[1,2,|3]  &  =|
|00005e40| 20 20 26 20 20 66 7e 28 | 66 7e 28 66 7e 65 7e 31 |  &  f~(|f~(f~e~1|
|00005e50| 29 7e 32 29 7e 33 20 20 | 5c 5c 0a 20 20 20 46 6f |)~2)~3  |\\.   Fo|
|00005e60| 6c 64 72 7e 66 7e 65 7e | 5b 31 2c 32 2c 33 5d 20 |ldr~f~e~|[1,2,3] |
|00005e70| 20 26 20 20 3d 20 20 26 | 20 20 66 7e 31 7e 28 66 | &  =  &|  f~1~(f|
|00005e80| 7e 32 7e 28 66 7e 33 7e | 65 29 29 0a 5c 65 6e 64 |~2~(f~3~|e)).\end|
|00005e90| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 2a 7d 0a 54 68 65 73 |{eqnarra|y*}.Thes|
|00005ea0| 65 20 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 73 20 77 69 6c 6c |e functi|ons will|
|00005eb0| 20 62 65 20 75 73 65 64 | 20 61 20 6c 6f 74 20 6c | be used| a lot l|
|00005ec0| 61 74 65 72 20 6f 6e 2e | 20 20 24 46 6f 6c 64 6c |ater on.|  $Foldl|
|00005ed0| 24 20 63 61 6e 20 62 65 | 20 64 65 66 69 6e 65 64 |$ can be| defined|
|00005ee0| 3a 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |:.\begin|{eqnarra|
|00005ef0| 79 2a 7d 0a 20 20 20 20 | 20 20 46 6f 6c 64 6c 7e |y*}.    |  Foldl~|
|00005f00| 66 7e 65 7e 78 73 20 20 | 26 20 20 3d 20 20 26 20 |f~e~xs  |&  =  & |
|00005f10| 20 78 73 7e 28 46 6f 6c | 64 6c 27 7e 66 7e 65 29 | xs~(Fol|dl'~f~e)|
|00005f20| 7e 65 20 20 5c 5c 0a 20 | 20 20 46 6f 6c 64 6c 27 |~e  \\. |  Foldl'|
|00005f30| 7e 66 7e 65 7e 78 7e 78 | 73 20 20 26 20 20 3d 20 |~f~e~x~x|s  &  = |
|00005f40| 20 26 20 20 46 6f 6c 64 | 6c 7e 66 7e 28 66 7e 65 | &  Fold|l~f~(f~e|
|00005f50| 7e 78 29 7e 78 73 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 71 6e 61 |~x)~xs.\|end{eqna|
|00005f60| 72 72 61 79 2a 7d 0a 53 | 6f 20 24 46 6f 6c 64 6c |rray*}.S|o $Foldl|
|00005f70| 7e 66 7e 65 7e 5c 6e 69 | 6c 24 20 69 73 0a 5c 62 |~f~e~\ni|l$ is.\b|
|00005f80| 65 67 69 6e 7b 65 71 6e | 61 72 72 61 79 2a 7d 0a |egin{eqn|array*}.|
|00005f90| 20 20 20 5c 73 74 61 72 | 74 7b 46 6f 6c 64 6c 7e |   \star|t{Foldl~|
|00005fa0| 66 7e 65 7e 4e 69 6c 7d | 20 20 0a 20 20 20 26 20 |f~e~Nil}|  .   & |
|00005fb0| 20 3d 20 20 26 20 20 4e | 69 6c 7e 28 46 6f 6c 64 | =  &  N|il~(Fold|
|00005fc0| 6c 27 7e 66 7e 65 29 7e | 65 20 20 5c 5c 0a 20 20 |l'~f~e)~|e  \\.  |
|00005fd0| 20 26 20 20 3d 20 20 26 | 20 20 5c 46 6f 6c 64 6c | &  =  &|  \Foldl|
|00005fe0| 7b 66 7d 7b 65 7d 5c 4e | 69 6c 0a 5c 65 6e 64 7b |{f}{e}\N|il.\end{|
|00005ff0| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0a 41 6e 64 20 24 |eqnarray|*}.And $|
|00006000| 46 6f 6c 64 6c 7e 66 7e | 65 7e 28 78 3a 78 73 29 |Foldl~f~|e~(x:xs)|
|00006010| 24 20 69 73 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 |$ is.\be|gin{eqna|
|00006020| 72 72 61 79 2a 7d 0a 20 | 20 20 5c 73 74 61 72 74 |rray*}. |  \start|
|00006030| 7b 46 6f 6c 64 6c 7e 66 | 7e 65 7e 28 43 6f 6e 73 |{Foldl~f|~e~(Cons|
|00006040| 7e 78 7e 78 73 29 7d 20 | 20 0a 20 20 20 26 20 20 |~x~xs)} | .   &  |
|00006050| 3d 20 20 26 20 20 43 6f | 6e 73 7e 78 7e 78 73 7e |=  &  Co|ns~x~xs~|
|00006060| 28 46 6f 6c 64 6c 27 7e | 66 7e 65 29 7e 65 20 20 |(Foldl'~|f~e)~e  |
|00006070| 5c 5c 0a 20 20 20 26 20 | 20 3d 20 20 26 20 20 46 |\\.   & | =  &  F|
|00006080| 6f 6c 64 6c 27 7e 66 7e | 65 7e 78 7e 78 73 20 20 |oldl'~f~|e~x~xs  |
|00006090| 5c 5c 0a 20 20 20 26 20 | 20 3d 20 20 26 20 20 46 |\\.   & | =  &  F|
|000060a0| 6f 6c 64 6c 7e 66 7e 28 | 66 7e 65 7e 78 29 7e 78 |oldl~f~(|f~e~x)~x|
|000060b0| 73 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 71 6e 61 72 72 61 79 2a |s.\end{e|qnarray*|
|000060c0| 7d 0a 46 6f 72 20 65 78 | 61 6d 70 6c 65 2c 20 24 |}.For ex|ample, $|
|000060d0| 46 6f 6c 64 6c 7e 66 7e | 65 7e 5b 31 2c 32 2c 33 |Foldl~f~|e~[1,2,3|
|000060e0| 5d 24 20 69 73 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 65 71 6e |]$ is.\b|egin{eqn|
|000060f0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0a | 20 20 20 5c 73 74 61 72 |array*}.|   \star|
|00006100| 74 7b 46 6f 6c 64 6c 7e | 66 7e 65 7e 5b 31 2c 32 |t{Foldl~|f~e~[1,2|
|00006110| 2c 33 5d 7d 20 20 0a 20 | 20 20 26 20 20 3d 20 20 |,3]}  . |  &  =  |
|00006120| 26 20 20 46 6f 6c 64 6c | 7e 66 7e 28 66 7e 65 7e |&  Foldl|~f~(f~e~|
|00006130| 31 29 7e 5b 32 2c 33 5d | 20 20 5c 5c 0a 20 20 20 |1)~[2,3]|  \\.   |
|00006140| 26 20 20 3d 20 20 26 20 | 20 46 6f 6c 64 6c 7e 66 |&  =  & | Foldl~f|
|00006150| 7e 28 66 7e 28 66 7e 65 | 7e 31 29 7e 32 29 7e 5b |~(f~(f~e|~1)~2)~[|
|00006160| 33 5d 20 20 5c 5c 0a 20 | 20 20 26 20 20 3d 20 20 |3]  \\. |  &  =  |
|00006170| 26 20 20 46 6f 6c 64 6c | 7e 66 7e 28 66 7e 28 66 |&  Foldl|~f~(f~(f|
|00006180| 7e 28 66 7e 65 7e 31 29 | 7e 32 29 7e 33 29 7e 5c |~(f~e~1)|~2)~3)~\|
|00006190| 6e 69 6c 20 20 5c 5c 0a | 20 20 20 26 20 20 3d 20 |nil  \\.|   &  = |
|000061a0| 20 26 20 20 66 7e 28 66 | 7e 28 66 7e 65 7e 31 29 | &  f~(f|~(f~e~1)|
|000061b0| 7e 32 29 7e 33 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 |~2)~3.\e|nd{eqnar|
|000061c0| 72 61 79 2a 7d 0a 61 73 | 20 70 72 6f 6d 69 73 65 |ray*}.as| promise|
|000061d0| 64 2e 20 20 53 69 6d 69 | 6c 61 72 6c 79 2c 20 77 |d.  Simi|larly, w|
|000061e0| 65 20 63 61 6e 20 64 65 | 66 69 6e 65 20 24 46 6f |e can de|fine $Fo|
|000061f0| 6c 64 72 24 20 61 73 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 |ldr$ as.|\begin{e|
|00006200| 71 6e 61 72 72 61 79 2a | 7d 0a 20 20 20 20 20 20 |qnarray*|}.      |
|00006210| 46 6f 6c 64 72 7e 66 7e | 65 7e 78 73 20 20 26 20 |Foldr~f~|e~xs  & |
|00006220| 20 3d 20 20 26 20 20 78 | 73 7e 28 46 6f 6c 64 72 | =  &  x|s~(Foldr|
|00006230| 27 7e 66 7e 65 29 7e 65 | 20 20 5c 5c 0a 20 20 20 |'~f~e)~e|  \\.   |
|00006240| 46 6f 6c 64 72 27 7e 66 | 7e 65 7e 78 7e 78 73 20 |Foldr'~f|~e~x~xs |
|00006250| 20 26 20 20 3d 20 20 26 | 20 20 66 7e 78 7e 28 46 | &  =  &|  f~x~(F|
|00006260| 6f 6c 64 72 7e 66 7e 65 | 7e 78 73 29 0a 5c 65 6e |oldr~f~e|~xs).\en|
|00006270| 64 7b 65 71 6e 61 72 72 | 61 79 2a 7d 0a 46 6f 72 |d{eqnarr|ay*}.For|
|00006280| 20 24 46 6f 6c 64 72 7e | 66 24 20 74 6f 20 72 65 | $Foldr~|f$ to re|
|00006290| 73 70 65 63 74 20 65 71 | 75 61 6c 69 74 79 2c 20 |spect eq|uality, |
|000062a0| 24 66 7e 78 24 20 73 68 | 6f 75 6c 64 20 72 65 73 |$f~x$ sh|ould res|
|000062b0| 70 65 63 74 20 65 71 75 | 61 6c 69 74 79 2e 0a 0a |pect equ|ality...|
|000062c0| 57 68 65 6e 20 77 65 20 | 64 6f 20 74 68 65 20 75 |When we |do the u|
|000062d0| 6e 66 6f 6c 64 69 6e 67 | 2c 20 77 65 20 64 69 73 |nfolding|, we dis|
|000062e0| 63 6f 76 65 72 20 74 68 | 61 74 0a 5c 62 65 67 69 |cover th|at.\begi|
|000062f0| 6e 7b 65 71 6e 61 72 72 | 61 79 2a 7d 0a 20 20 20 |n{eqnarr|ay*}.   |
|00006300| 20 20 20 20 46 6f 6c 64 | 72 7e 66 7e 65 7e 5c 6e |    Fold|r~f~e~\n|
|00006310| 69 6c 20 20 26 20 20 3d | 20 20 26 20 20 65 20 20 |il  &  =|  &  e  |
|00006320| 5c 5c 0a 20 20 20 46 6f | 6c 64 72 7e 66 7e 65 7e |\\.   Fo|ldr~f~e~|
|00006330| 28 78 3a 78 73 29 20 20 | 26 20 20 3d 20 20 26 20 |(x:xs)  |&  =  & |
|00006340| 20 66 7e 65 7e 28 46 6f | 6c 64 72 7e 66 7e 65 7e | f~e~(Fo|ldr~f~e~|
|00006350| 78 73 29 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |xs).\end|{eqnarra|
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